Выражение стоящее под знаком логарифма

Логарифмические уравнения: краткий курс

выражение стоящее под знаком логарифма

\[5){\log _{g(x)}}f. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. Выражение, стоящее в основании логарифма, должно. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов . Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно. чтобы найти ОДЗ логарифма надо решить систему из трёх неравенств. Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с.

Уравнения, часть С

Основной вывод из этого урока: Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически. Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах. Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень.

Логарифмические уравнения с разными основаниями Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы.

Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log.

Логарифмические уравнения и неравенства

Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием.

В этом случае мы получим конструкцию вида: Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на logab, получим: Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма.

Взамен нам пришлось перевернуть дробь. Далее осталось привести логарифмы к общему основанию. В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение: Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу: Другими словами, коэффициент k, который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь.

Давайте вынесем ее как перевернутую дробь: Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит. Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковыеи записываем: Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Теперь переходим ко второму выражению: Как решать такое уравнение?

Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно. Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log2 7. Что мы можем о нем сказать?

Решение логарифмических уравнений по определению логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма: Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log2 7.

Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом: В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого.

На самом деле ничего криминального в этом. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило: Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log.

выражение стоящее под знаком логарифма

Возвращаемся к нашей задаче. Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Давайте внесем его в аргумент правого lg: Мы решили второе логарифмическое уравнение.

выражение стоящее под знаком логарифма

При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе. Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока. Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма.

И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока.

выражение стоящее под знаком логарифма

Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства. Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log это очень пригодилось нам в первой задаче ; Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f x.

Ничего страшного в этом. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае. В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе.

Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически. Задачи с переменным основанием Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции.

выражение стоящее под знаком логарифма

Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму. Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой.

Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b, которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не.

Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования: Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: Но вы не пугайтесь: Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию.

Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех.

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство. Ну действительно, еслито первая скобка положительна, и на неё можно разделить, не меняя при этом знак неравенства. Если жето первая скобка отрицательна, и при делении на неё, знак неравенства изменится на противоположный. То есть мы получили ровно то же самое, что имели в предыдущем пункте. Но при этом нет необходимости рассматривать два случая.

Всё решается в рамках одного единственного неравенства. И хотя этот способ не избавляет нас от необходимости определения области допустимых значений, он всё равно приводит к существенному упрощению решения задачи. Решаем полученное неравенство методом интервалов. Для этого поменяем знаки во второй скобке, разделим обе части неравенства на -1, поменяв знак неравенства: Теперь разложим выражение во вторых скобках на множители: Изобразим на числовой прямой множество решений полученного неравенства стрелкой обозначена область допустимых значений исходного логарифмического неравенства: В результате получаем тот же результат, что и в предыдущем параграфе: